在 Young-Laplace 理論方程的基礎(chǔ)上，Bashforth 和 Adams 通過進(jìn)一步推導(dǎo)得到了懸滴法和躺滴法的表面張力測量工作方程，懸滴法的測量工作方程主要基于兩個(gè)基本假設(shè)：1) 懸垂液滴在重力和表面張力的共同作用下處于平衡狀態(tài)；2) 懸垂液滴的形狀呈現(xiàn)完美的中心軸對(duì)稱。對(duì)處于平衡狀態(tài)的真實(shí)懸垂液滴，通過圖像處理軟件精準(zhǔn)提取液滴的外形輪廓，以液滴頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖 1 所示，則液滴輪廓 d 點(diǎn)應(yīng)滿足的關(guān)系式為：

?p? = ?p_d + ?ρgz (2)

?p? = 2γk? (3)

?p_d = γ(k_L + k_d) (4)

式中，?p? 為參考點(diǎn) O 處的液滴分界面處的內(nèi)外壓力差；?p_d 為液滴表面 d 點(diǎn)處的液滴分界面處的內(nèi)外壓力差；?ρ 為氣液兩相的密度差；g 為當(dāng)?shù)刂亓铀俣龋≈禐?9.7967 m·s?2；k?、k_L 和 k_d 分別為參考點(diǎn) O 處的曲率、d 點(diǎn)在 Z ? X 坐標(biāo)平面的曲率以及 d 點(diǎn)在 Z ? X 正交平面的曲率，其值分別為 k? = 1/R?，k_L = dφ/ds 和 k_d = sinφ/x。

聯(lián)立式(2)～(4)，化簡可得懸滴法的測量工作方程為：

dφ/ds = (2/R?) ? (sin φ)/x ? (?ρgz)/γ (5)

對(duì)式(5)進(jìn)行無量綱化處理，即 S = s/R?，X = x/R? 和 Z = z/R?，并引入液滴形狀因子 β = ?ρgR?2/γ，則式(5)可化簡為：

dφ/dS = 2 ? βZ ? sin φ / X (6)

通過圖像處理軟件在液滴表面進(jìn)行離散化取點(diǎn)，并采用非線性優(yōu)化算法對(duì)上式進(jìn)行精確的數(shù)據(jù)擬合，即可得到形狀因子，從而根據(jù)氣液兩相密度差和頂點(diǎn)處的曲率半徑獲得該狀態(tài)下的表面張力。

γ = (?ρgR?2) / β (7)

圖 1 真實(shí)液滴的外形輪廓示意圖

1.2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

本文所搭建的懸滴法表面張力實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的溫度和壓力適用范圍為 223.15 ～ 373.15 K 和 0 ～ 15 MPa。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖如圖 2 所示，其主要包括實(shí)驗(yàn)裝置本體、恒溫槽、溫度控制與測量系統(tǒng)、氣體增壓與壓力測量系統(tǒng)、液滴控制系統(tǒng)、真空系統(tǒng)、圖像采集和數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)。

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)采用本體纏繞換熱銅管且外接恒溫槽的方式，通過恒溫槽進(jìn)行溫度的精準(zhǔn)控制，并在盤管與本體周圍填充銅粉來增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)裝置的溫度均勻性，待溫度穩(wěn)定后由 PT-100 高精度鉑電阻溫度傳感器和精密測溫儀獲得實(shí)驗(yàn)裝置的內(nèi)部溫度，其溫度測量的不確定度優(yōu)于 30 mK。為了避免低溫環(huán)境中水蒸氣在觀察窗口處凝結(jié)而影響液滴圖像的采集，本文設(shè)計(jì)了一種雙夾層結(jié)構(gòu)，并在中間區(qū)域密封了高純氮?dú)?，從而避免了觀察窗暴露在空氣中的弊端。實(shí)驗(yàn)腔體內(nèi)通過充氣管路連接高壓氣瓶或充樣罐進(jìn)行增壓，其壓力大小可使用閥門和壓力傳感器進(jìn)行控制，壓力測量的不確定小于 20 kPa。

使用微量流體精準(zhǔn)控制系統(tǒng)形成穩(wěn)定的懸垂液滴，該系統(tǒng)主要由微單片機(jī)控制器、電機(jī)激勵(lì)器、異步電機(jī)、星型減速機(jī)、剛性聯(lián)軸器、螺紋增壓泵和鋁型固定件組成。通過使用較小內(nèi)徑的毛細(xì)管和異步電機(jī)轉(zhuǎn)速的精準(zhǔn)調(diào)控，可以實(shí)現(xiàn)在高壓條件下穩(wěn)定液滴的控制需求。經(jīng)標(biāo)定的毛細(xì)管外徑為 1.6505 mm，不確定度為 0.0011 mm。同時(shí)，由數(shù)字相機(jī)、工業(yè)鏡頭、LED 背光源和 LED 光源控制器四部分組成了圖像采集系統(tǒng)，結(jié)合寧波海曙邁時(shí)檢測科技有限公司提供的 DropMeter V1.20 軟件完成數(shù)據(jù)處理。圖 3 為該軟件的數(shù)據(jù)處理界面 DropMeter V1.20，該軟件可讀取液滴視頻和圖片文件，并能根據(jù) Canny 算子自動(dòng)檢測待測液滴的基準(zhǔn)線和外形輪廓線，通過最小二乘法實(shí)現(xiàn)外形輪廓的擬合和表面張力的計(jì)算，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理給出表面張力的計(jì)算誤差。懸垂液滴輪廓在通過圖像分析軟件進(jìn)行擬合得到形狀因子和頂點(diǎn)曲率半徑時(shí)，會(huì)存在輪廓曲線擬合誤差，根據(jù) DropMeter V1.20 軟件說明書可知，由軟件擬合確定形狀因子和頂點(diǎn)曲率半徑所引入的相對(duì)不確定度分別為 0.05% 和 0.005%。

圖 2 懸滴表面張力實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng)示意圖

圖 3 DropMeter V1.20 軟件數(shù)據(jù)處理界面

考慮氣液密度差、圖像分析軟件確定形狀因子和頂點(diǎn)曲率半徑誤差、毛細(xì)管直徑誤差、溫度測量不確定度以及壓力測量不確定度，根據(jù)不確定度傳遞公式，其表面張力測量的擴(kuò)展不確定度優(yōu)于 ±0.1 mN·m?1。